手の指の間に小さく赤いポツポツができはじめ、最近では両手、足の甲、指の間と広がってきました。

手、足の特に指の間に出やすい赤いポツポツは、「汗疱（かんぽう）」といって汗を分泌する腺に汗がたまって炎症を起こしたものです。やがて表皮が破れて、皮がむけて治っていくものです。
普通はかゆいのですが、1歳未満の乳児では、かゆみをそれほど感じないかもしれません。

汗疱は、季節の変わり目に出やすく、真夏になると治っていきます。
なぜ汗疱ができるかは、明確にはわかっていませんが、手のひらや足の裏に多量に汗をかいたときに、汗の出口が詰まって中に汗がたまり、周囲に炎症を起こした状態と考えられます。

手足の汗は、他の部位の皮膚の汗とは異なる刺激でかくものです。
「手に汗握る」という言葉があるように、単に暑いときだけでなく、精神的に緊張したときや興奮したときなどにも、手には汗をかくのです。ですから、他の皮膚にあせもができていなくても、手や足に汗疱ができることがあります。

また、手足だけに多発する赤い小さな丘疹であることから「砂かぶれ様皮膚炎」の可能性もあります。砂にかぶれてできたように見える乳幼児の手足特有の皮膚病で、ウイルス感染説が有力です。2〜4週間で自然治癒します。赤みや、かゆみなどの炎症症状が強いときは、ステロイド軟膏（なんこう）を塗ると落ち着きます。
早く出た所から、次第に皮がむけて治っていくようなら、このまま様子を見てもよいと思われます。もし、赤みが広がったり、かゆそうに手や指をこすりつけたりするようでしたら、薬を塗った方がよいので、もう一度皮膚科を受診なさるとよいでしょう。