【数と式】「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由
条件pを満たすもの全体の集合をP ，条件q を満たすもの全体の集合Qとするとき，「 p ⇒q 」が真であるときに P⊂Qが成り立つのか，P⊃Qが成り立つのかわかりません。
進研ゼミからの回答
こんにちは。
いただいた質問について，さっそく回答いたします。
【質問の確認】
条件pを満たすもの全体の集合をP ，条件q を満たすもの全体の集合Qとするとき，「 p ⇒q 」が真であるときに P⊂Qが成り立つのか，P⊃Qが成り立つのかわかりません。
というご質問ですね。
【解説】
・「 p ⇒q 」が真であるということ
・⊂，⊃の記号の使い方，すなわち，集合の包含関係
を理解すれば，わかるようになります。
「命題の真偽」と「集合の包含関係」は，一見違うことに思われますが，実は同じことなのです。
集合のベン図をかくことによって，このことを考えてみましょう。
≪命題の真偽をベン図に表す≫
まず，命題の真偽について確認しましょう。
【命題とその真偽】
正しいか正しくないかが明確に決まる式や文章を命題という。
命題が正しいとき，その命題は真であるといい，正しくないとき，その命題は偽であるという。
「 p ⇒q 」が真，つまり「 p ⇒q 」が成り立つ，ということをベン図に表してみましょう。
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合をQとすると，Pに含まれているものx は，条件pを満たしています。今，「 p ⇒q 」が成り立っているのですから，xは条件qも満たしているということになり，xはQに含まれるのです。
つまり，Pに含まれているものはすべて，Qに含まれることになり，このことを集合のベン図で表すと，図１のようになります。
≪包含関係をベン図で表す≫
集合のベン図と⊂，⊃の記号の関係を確認しましょう。
すなわち，（含まれる方）⊂（含む方）となります。
よって，図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということそのものであることがわかります。
【例1】
命題「４の倍数⇒２の倍数」は真なので，（４の倍数全体の集合）⊂（２の倍数全体の集合）となっています。
★まとめ★
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合Qとするとき，
「 p ⇒q 」が真⇔P⊂Q
となります。
【アドバイス】
「 p ⇒q 」が真 のとき P⊂Qにおいて，⇒と⊂の関係を覚えておきましょう。
このとき，下のような集合のベン図をかいてPからどんな要素をとっても，それはQの要素になる，すなわち， P⊂Qとなると理解しておくとよいでしょう。
それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。
