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数学Ⅱ 定期テスト対策【式と証明】不等式の証明で相加平均と相乗平均の大小関係を使うコツ

【式と証明】不等式の証明で相加平均と相乗平均の大小関係を使うコツ

不等式の証明で，どんなときに，相加平均・相乗平均の関係を使ったらよいのかわかりません。

進研ゼミからの回答

こんにちは。
いただいた質問について，さっそく回答いたします。

【質問の確認】

不等式の証明で，どんなときに，相加平均・相乗平均の関係を使ったらよいのかわかりません。
というご質問ですね。

【解説】

相加平均と相乗平均の大小関係は，
$「a＞0、b＞0のとき、a＋b≧2√ab（等号が成り立つのは、a＝bのとき）$
でしたね。
この関係は，不等式を証明するときなどに使うことができるものでした。
ただし，実際の問題では，どんなときに相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいのか，どのような２数に対して当てはめればよいのか，迷うことがあると思います。
では，具体的に見ていきましょう。

≪その1：どんなときに，相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいの? ≫
判断するポイントは，次の通りです。
$①証明する不等式の中に、a、1/aのように、「掛けたら文字が消えてしまう（定数となる）文字のカタマリの組」があること。（a×1/aとなり、aが消えます）。②①の文字のカタマリのそれぞれが、正の数（値）であること（例えば、a、1/aがともに正の数）。」$
次の例題で，どのように使うかを考えてみましょう。

【例題１】
$a＞0、b＞0のとき、ab＋9/ab≧6を証明せよ$
＜考え方＞
$式の中で、「カタマリを設定します。例えば、ab、9/abという二つのカタマリとして見てみると、ab、9/abをかけると、ab×9/ab＝9となり、abが消えて定数となる。よって、上のポイント①に当てはまります。a＞0、b＞0だから、ab＞0、9/ab＞0　よって、よって、上のポイント②に当てはまります。このように、上記2つのポイントを満たしているので、ab、9/abに対して、相加平均と相乗平均の大小関係が使えそう、と判断できますね。」$
＜解答＞
$解答$
≪その2：相加平均と相乗平均の大小関係を使える気がするけれど，そのやり方がわからない…という場合≫
難しい問題になると，なんとなく相加平均と相乗平均の大小関係が使えそうなのですが，どの２式を当てはめたらよいのかわかりにくいことがあります。その場合の考え方について見てみましょう。

【例題２】
$a＞0、b＞0のとき、（2a＋b）（2/a＋1/b）≧9を証明せよ$
（考え方）
$（考え方）証明すべき不等式の左辺を展開して、どの文字のカタマリがポイント①②を満たすか考えましょう。$
＜解答＞
左辺を展開して，

$解答$
◎まとめ
不等式の証明で，相加平均と相乗平均の大小関係を使うかどうか，判断のポイントは，

①　証明する不等式の中に，「掛けたら定数となるような文字のカタマリの組」があること。

②　①の文字のカタマリのそれぞれが，正の数（値）であること。

そして，「①②に当てはまるかどうかすぐにわからない」というときは，「証明すべき不等式を展開」して，上の①②を満たす文字のカタマリがあるかチェックしましょう。